Arch Ribs: Forces and Moments, Thrust and Shear

Efter at have læst denne artikel vil du lære om: - 1. Forcer og øjeblikke på Arch Ribs 2. Normal tryk på en hvilken som helst del af Arch Rib 3. Radial Shear 4. Influence Lines.

Kræfter og øjeblikke på Arch Ribs:

jeg. Temperatureffekt:

En to-hængslet bue og en bundet bue er vist i figur 13.8, der viser effekten af ​​temperaturstigning på bueribben. På grund af temperaturstigningen vil arbribben ACB have en forøgelse i længden til AC'B for den to-hængslede bue og til AC'B 'for den bundet bue.

Effekten af ​​temperatur i tilfælde af to-hængslede bue vil være forskellig fra den for bundet buer. I tilfælde af den tidligere, da der ikke er nogen forskydning af understøtningerne, vil øgningen i længden af ​​buenribben tilbyde tryk, H _t, på understøtningerne, og kransen af ​​buen vil gå lodret op fra C til C '.

I tilfælde af sidstnævnte vil rullen imidlertid forsøge at tillade den frie ende B at flytte til B 'og som sådan vil forsøge at frigive stødkraften, men slipset vil på den anden side forsøge at holde enden B på plads indtil det strækkes i en sådan grad, at trækstyrken i slipset er lig med bueens tryk.

Denne kraft for bøjede buer vil være mindre end for de hængslede buer, (spænding, stigning mv af begge buer forbliver ens). Imidlertid vil belastningen i slipset være lille, reduktionen af ​​H, ikke være meget signifikant, og som sådan til alle praktiske formål kan både slipset og bueribben være udformet til H _t selv for bundne buer.

Hvis t er stigningen i temperaturen og a, er ekspansionskoefficienten, så øges ribben ACB i længden til AC'B sådan at AC'B = ACB (1 + αt). Hvis L er buenes spændvidde, kan det godtgøres, at understøtningen B, hvis den er fri til at bevæge sig på grund af temperaturpåvirkningen, vil gå til B 'horisontalt således at BB' = Lαt.

Det vil sige, at ved forhindring af B's ​​bevægelse forhindres den vandrette ekspansion af buen Lαt.

Hvis H _t er det vandrette tryk på grund af forhindring af buenes udvidelse, er bøjningsmomentet på et element af buen i en højde y fra foråret givet af:

M = H ty (13, 35)

Det er kendt, at den vandrette stigning i spændvidde δL for en bue på grund af bøjningsmoment er givet af:

Tværsnittet og som sådan varierer trækmomenterne i en bueafsnit fra maksimum ved anlæg til minimum ved krone. Med henblik på konstruktion kan trækmomentet i en hvilken som helst sektion x tages som I = I _C sec θ hvor jeg _C er trækmomentets kronesektion og θ er buens hældning.

Ved at erstatte ds = dx sec θ og I = I _c Sec θ, bliver ligning 13.37:

Krympning og plastflow af beton forkorter buen ribben og som sådan bliver H en træk på abutments. Temperaturfaldet vil også medføre en træk, og derfor skal effekten af ​​temperaturfaldet også tages behørigt i betragtning sammen med krympning og plastflow af beton for at imødegå de værste forhold.

ii. Arch Shortening:

På grund af bueforkortelse reduceres en del af den vandrette kraft forårsaget af ekstern belastning.

Horisontal kraft på grund af ekstern belastning er givet ved:

Den reducerede værdi af H som følge af ekstern belastning, herunder effekten af ​​bueforkortelse, kan gives med følgende udtryk:

Hvor M ₁ = B slutter øjeblik på et hvilket som helst afsnit på grund af eksterne belastninger, hvor bue betragtes som simpelthen understøttet stråle.

A = Areal af tværsnit af buen ribben på ethvert punkt.

E = Youngs Modulus af buebeton.

Når E er konstant for samme bue og ds = dx sek θ A = Ac Sec θ (ca.) og I = I _C sec θ, bliver ligning 13.41:

Hvis H _a er kendt, kan øjeblik M _a, ved en hvilken som helst del af bue på grund af ekstern belastning, herunder effekten af ​​bueforkortelse, vurderes ud fra nedenstående udtryk:

M _a = (M1 - H _a y) (13, 43)

iii. Krympning og plastflow af beton:

Effekten af ​​krympning af buen ribben er ligner den som følge af temperaturfald. Krympestrømmen, Cs, kan derfor erstatte temperaturstammen ved i ligning 13.39 for at få pull Hs på grund af krympning.

Hvad angår virkningen af ​​plastflow af beton, kan værdien af ​​E modificeres til halvdelen af ​​øjeblikkelig værdi, mens der bestemmes kræfter og øjeblikke.

Ved undersøgelse af udtrykkene 13.39, 13.40, 13.42 og 13.44 til evaluering af de horisontale kræfter kan det bemærkes, at kun temperatur og krympning påvirkes af plastflowet af beton, da udtrykkene vedrørende disse virkninger kun indeholder E term.

Illustrativt eksempel 1:

En to-hængslet parabolbue på 40m span er lastet med 120 KN belastning ved hvert fjerde punkt (figur 13.9). Opstigningen af ​​buen er 5m. Trækmomentets trækmoment varierer som sekanten af ​​buehældningen. Find kræfterne og øjeblikke i betragtning af effekten af ​​temperaturvariation, bueforkortelse, krympning og plastflow af beton.

Givet:

a = 11, 7 x 10-6 grader Cig, 4 x 10-4, E = 31, 2 x 10 ⁴ Kg / cm2, t = 18 ° C, A _c = bxd = 30 x 150 cm = 4500 cm2, I _C = 8, 5 x 10 ⁶ cm ⁴ .

Opløsning:

Fra ligning 13.10 er ligningen af ​​en parabolisk bue ribben:

Integration af tælleren:

Integrering af nævneren:

Bøjningsmomenter til ydre belastninger og vandrette fremspring:

y ved C = x / 80 (40 - x) = 10/80 (40-10) = 3, 75m; y ved D = 5, 0m

. ^. . Moment ved A = Moment ved B = 0 (da buen er hængslet på A & B)

Moment ved C = Moment ved E = (M - Hy) = (V _A x - Hy) = 180 x 10 - 455 x 3, 75 = 93, 75 KNm

Moment ved D = V _A x - 120 (x - 10) - Hy = 180 x 20 - 120 (20-10) - 455 x 5 = 125 KNm

Temperatureffekt:

Effekt temperaturvariationen er taget som 2/3 af den faktiske temperaturvariation,

Arch Shortening:

Fra ligning 13.42 er værdien af ​​H, herunder effekten af ​​bueforkortelse, givet af:

Effekt af krympning:

Krympekoefficient, C _s = 4 x 10 ^{- 4}

Hvis bueribben betones i sektioner for at reducere krympningen, kan denne værdi tages som 50 procent af C _s, dvs 2 x 10 ^{- 4} .

Effekt af plastflow:

Værdien af ​​E kan tages som halvt, mens man estimerer temperatur og krympeffekt. Derfor kan værdierne for H _t og H _s reduceres med 50 procent i betragtning af plastflowet af beton af buen ribben.

Resumé af resultater:

(a) H på grund af eksterne belastninger = 455 KN (Thrust)

(b) H _a overvejer bueforkortelse = 448, 6 KN (Thrust)

(c) _{Ht på} grund af temperatur inklusive plastflow = 50% af 27, 4 = ± 13, 7 KN (Træk eller træk)

(d) H _{s som} følge af krympning inklusive plastflow = 50% af 39, 0 = (-) 19, 5 KN (træk)

. ^. . Maksimum H = 448, 6 + 13, 7 - 19, 5 = 442, 8 KN (tryk)

Minimum H = 448, 6 - 13, 7 - 19, 5 = 415, 4 KN (tryk)

Design øjeblik på buen ribben i forskellige sektion:

Bøjningsmomenter ved forskellige sektioner af buen er vist i figur 13.10. Det kan bemærkes, at den vandrette fremdrift induceret i ærgribben har reduceret de frie bøjningsmomenter med næsten 87 procent.

Normal fremspring på en hvilken som helst del af Arch Rib:

Til udformning af en hvilken som helst del af bueribben skal størrelsen af ​​bøjningsmoment og det normale tryk være kendt. Bøjningsmomenterne for døde belastninger og andre effekter som temperatur, bueforkortelse, krympning, plastflow mv. Kan opnås som beskrevet ovenfor.

Bøjningsmomenterne for levende belastninger kan opnås ved hjælp af indflydelseslinjer. For at få alle designkræfterne og øjeblikke for hver kritisk del af buen, skal der derfor ikke kun bøjningsmomenter, men også stød og saks er kendt.

Fremgangsmåden er nu forklaret. Den normale tryk for en hvilken som helst sektion X af buen ribben i en afstand x fra A og udsat for vandret stød, H og lodret stød, V er givet ved P _x = H cos θ + V sin θ.

Hvis der er en bevægelig belastning W, der virker på bue, er den normale tryk i et afsnit X (på en afstand x fra A) givet ved:

(a) Når belastningen W er inden for A til X:

P _X = H _A cosθ + V _En sinθ - W sinθ

= H _A cosθ - (W - V _A ) sin θ = H _A cos θ - V _B sin θ (13, 47)

(b) Når belastningen er mellem X og B:

P _X = H _A cosθ + V _En sinθ (13, 48)

Radial Shear i Arch Rib:

Ved udformningen af ​​en hvilken som helst sektion skal værdierne for bøjningsmoment, forskydning og normalt tryk være kendt. Metoden til bestemmelse af bøjningsmoment og normal trykkraft. I denne artikel forklares evalueringen af ​​radial forskydning.

Som ved normal tryk, hvis den bevægelige belastning W er mellem A til X, er radial forskydning S _X ved et afsnit angivet ved:

Indflydelse Linjer til Arch Rib:

I de foregående artikler blev fremgangsmåden til bestemmelse af øjeblikke, tryk og forskydning for ethvert afsnit for statiske belastninger diskuteret. I tilfælde af broer skal de køretøjer, broen skal bære, ikke være statisk, men bevægelig, og derfor skal evalueringen af ​​øjeblik, tryk og forskydning gøres ved hjælp af indflydelseslinjer. Metode til tegning af indflydelseslinjer for to hængslede parabolbue.

Påvirkninger af linjer til tohængede parabolbue:

Indflydelse linjer for vandret tryk på anlæg:

Vandret tryk i en tohængslet bue, der bærer en enhed koncentreret belastning ved P på en afstand af 'a' fra oprindelse, gives af,

Det komplette indflydelseslinjediagram for tryk, H er vist i figur 13.12b. Samvirkningen af ​​ordinaterne for indflydelseslinjediagrammet for forskellige værdier af 'a' er angivet i tabel 13.1.

Bemærk:

(a) Ordinaterne for IL diagrammet = koefficient x L / r.

(b) Støtningen på grund af en koncentreret belastning W = ordinat x W.

(c) Støtningen på grund af en fordelt belastning, ω / m = Område af inf. line diag x ω.

Indflydelseslinjediagram for Bøjning Moment i et afsnit X:

Indflydelseslinjediagrammet for øjeblik ved X (generaliseret diagram) er vist, er fig. 13.13a og det samme ved x = 0, 25L og x = 0, 5L (dvs. ved kronen) er vist i figur 13.13b, koefficienterne for ordinater for Momenter i forskellige sektioner (dvs. x = 0, 0, 1L, 0, 2L osv.) til forskellige belastningspositioner (dvs. a = 0, 0, 1L, 0, 2L osv.) er vist i tabel 13.2.

Ordinaterne for indflydelseslinjediagrammet skal opnås ved at multiplicere koefficienterne med L. Momentet M _X for en koncentreret belastning W = koefficient x WL.

Påvirkning af linjediagram for normal indsats i afsnit X:

Normal tryk i et hvilket som helst afsnit X opnås ved anvendelse af ligning 13.47 eller 13.48 dvs. P _X = H _A cos θ - V _B sin θ eller H _A cos θ + V _En sinθ afhængigt af om belastningen er til venstre eller højre for sektion X henholdsvis.

Indflydelseslinierne for V _A sin θ og V _B sin θ er to parallelle linjer, der har endeordinater svarende til sin θ, da V _A eller V _B for enhedens bevægelige belastning ved enderne bliver enhed. Indflydelseslinjen for H cos θ er cos θ gange indflydelseslinjen for H som tidligere opnået. Indflydelseslinjediagrammet for P _X er vist i figur 13.14a.

Påvirkningslinjediagram for radialskær ved X:

Radial forskydning ved X er givet ved ligningen S _X = H _A sinθ + V _B cosθ eller H _A sinθ - V _A cosθ afhængigt af om enhedens belastning er til venstre eller til højre for sektion X.

Indflydelseslinierne for V _A cosθ og V _B cosθ er to parallelle linjer med endeordinater lig med cosθ med enhedsbevægelsesbelastning. Indflydelseslinjen for H sinθ er sinθ gange indflydelseslinjen for H som opnået tidligere. Det endelige indflydelseslinjediagram for radial forskydning ved X er vist i figur 13.14b.

Påvirkningsdiagram for trehængslede buer og faste buer:

Indflydelseslinjediagrammerne for stød på anlæg, øjeblikke, normale stød og radial forskydning i en sektion X for tre hængslede buer og faste buer kan trækkes ind på samme måde som forklaret ved tohængslede buer.

For klar reference er indflydelseslinjediagrammerne for vandret tryk, H og for øjeblikket ved sektion X for en trehængslet parabolbue vist i figur 13.15, og dem for en fast parabolbue er vist i figur 13.16.

Indflydelseslinjediagrammer for øjeblikke i sektioner x = 0, 2L og x = 0, 4L for trehængslede bue og i sektioner x = 0, 2L og x = 0, 5L for faste parabolbue er vist henholdsvis i henholdsvis figur 13.17a og 13.17b. Koefficienterne for koordinater for tryk, H og øjeblikke i forskellige sektioner både for trehængslede og faste parabolbue er angivet i tabel 13.3, 13.4, 13.5 og 13.6.

Bemærk:

(a) Ordinaten for indflydelseslinjediagram = koefficient x L / r.

(b) Støtningen på grund af en koncentreret belastning, W = ordinat x W.

(c) Støtningen på grund af en fordelt belastning, ω / m = Inf. område. L. diag. x ω.

Bemærk:

(a) Ordinatet af IL diagram = koefficient x L / r.

(b) Stødpunktet, H for en punktbelastning, W = co-eff. x WL / r = ordinat x W.

(c) Stødpunktet, H for en fordelt belastning, ω / m = Område med indflydelseslinje diag. x ω.

Anvendelsen af ​​indflydelse linjekoefficienter i evalueringen af ​​stød og øjeblikke med statiske belastninger:

Indflydelseslinjediagrammerne bruges til evaluering af maksimal vandret tryk, moment mv for flytning af belastninger. Disse indflydelseslinjediagrammer og tabeller kan også bruges til bestemmelse af tryk, moment etc. for enhver statisk belastning også.

Illustrativt eksempel 2:

Evaluere stød og øjeblikke for den parabolske bue som givet er illustrative eksempel 13.2 og figur 13.9 ved anvendelse af indflydelseslinjediagrammer og koefficienter.

Opløsning:

Fra tabel 13.1 er koefficienterne for tryk for enhedsbelastning ved 0, 25L, 0, 5Land 0, 75L henholdsvis 0, 1292, 0, 1953 og 0, 1392.

Støt som tidligere bestemt = 455 KN. Derfor er værdien opnået ved anvendelse af indflydelseslinjekoefficienter i overensstemmelse med den tidligere værdi beregnet ved anvendelse af formler.

Koefficienterne for øjeblikke ved C (x = 0, 25L), D (x = 0, 5L) og E (x = 0, 75L) for belastninger ved C (a = 0, 25L), D (a = 0, 5L) og E = 0, 75L) er som nedenfor:

Koefficienter ved C eller E (dvs. ved 0, 25L eller 0, 75L):

Koefficienter ved D (ieat 0, 5L):

Derfor er de værdier, der opnås ved anvendelse af indflydelseslinjekoefficienten, ensartede med dem ved anvendelse af formel. Den lille variation skyldes de omtrentlige koefficienter (op til tre decimaler), der anvendes i tabellen. Selvom det er omtrentligt, er metoden ved brug af indflydelseslinjekoefficienter meget hurtig, og som sådan har den en vis fordel i forhold til den tidligere anvendte metode.