Normal Sandsynlighedskurve: Beregning, Karakteristik og Anvendelser

Læs denne artikel for at lære om beregning, egenskaber og anvendelser af normal sandsynlighedskurve i statistik.

Beregning af normal sandsynlighedskurve:

Hvis en mønt kastes upartisk vil den falde enten hovedet (H) eller halen (T). Dette er sandsynligheden for at se et hoved en chance i to. Så sandsynlighedsforholdet for H er ½ og T er ½.

Ligeledes skal vi kaste to mønter, mønt x og mønt y, der er fire mulige måder at falde på.

Således er de fire mulige måder - både x og y kan falde H, x kan falde T og y H, x kan falde H og yT, eller begge kan falde T.

Udtrykt i forhold

Sandsynlighed for to hoved = ¼

Sandsynlighed for to haler = ¼

Sandsynligheden for en H og en T = ¼

Sandsynligheden for en T og en H = ¼

Således er forholdet ¼ + ½ + ¼ = 1, 00

Det forventede udseende af hoveder og haler af to mønter kan udtrykkes som:

(H + T) ² = H2 + 2HT + T2

Hvis vi skal øge antallet af mønter til tre dvs. x, y og z, kan der være otte mulige arrangementer.

Den forventede udseende af hoveder og haler af mønter kan udtrykkes som:

På denne måde kan vi bestemme sandsynligheden for forskellige kombinationer af hoveder og haler af et hvilket som helst antal mønter. Vi kan opnå sandsynlighed for et hvilket som helst antal mønter ved binomial ekspansion. Et udtryk der indeholder to udtryk kaldes en binomial ekspression. Binomial sætning er en algebraisk formel, der udvider kraften i binomial udtryk i form af en serie.

Formlen lyder som følger:

(H + T) ⁿ = C (n, 0) H ⁿ + C (n, 1) H ^n-1 T + C (n, 2) H ^{( n-2)} T ² ....

... + C (n, r) H ^nr T ^r + .... + C (n, n) T ⁿ ... (11, 1)

Hvor C = Mulige kombinationer.

C (n, r) = n! / R! (n - r)!

n! betyder 1 x 2 x 3 x .... xn

n = Samlet antal observationer eller personer.

r = Antal observationer eller personer taget ad gangen.

Således binomial ekspansion af

Hvis ovenstående data er tegnet på en graf som histogram og frekvenspolygon, vil det være som nedenfor (figur 11.1)

Således er figuren, vi opnåede fra kaste på 10 mønter (H + T) ¹⁰, en symmetrisk mangesidet polygon.

Og hvis vi skal fortsætte med at øge antallet af mønter, vil polygonen med hver forøgelse udvise en perfekt glat overflade linien-11.2 nedenfor:

Denne klokkeformede kurve kaldes som 'Normal Sandsynlighedskurve'. Således er "graden af ​​sandsynlighedsdensitetsfunktionen af ​​den normale fordeling en kontinuerlig klokkeformet kurve, symmetrisk om middelværdien" kaldes normal sandsynlighedskurve.

I statistikker er det vigtigt, fordi:

(a) Det er fordelingen af ​​mange naturligt forekommende variabler, såsom intelligens af 8. klasse studerende, højde på 10. klasse studerende mv.

b) Fordelingen af ​​prøverne, der er trukket fra de fleste moderpopulationer, er normal eller omtrent, når prøverne er tilstrækkeligt store.

Derfor har normal kurve stor betydning i samfundsvidenskab og adfærdsvidenskab. I adfærdsmæssig måling tilnærmes de fleste aspekter til den normale fordeling. Så den normale sandsynlighedskurve eller mest populært kendt som NPC bruges som referencekurve. For at forstå NPC's nytte må vi forstå NPC's egenskaber.

Karakteristik af normal sandsynlighedskurve:

Nogle af de vigtigste egenskaber ved normal sandsynlighedskurve er som følger:

1. Kurven er bilateralt symmetrisk.

Kurven er symmetrisk til dens ordinat af kurvens centrale punkt. Det betyder, at kurvens størrelse, form og hældning på den ene side af kurven er identisk med den anden side af kurven. Hvis kurven er bisected, så svarer højre side helt til venstre side.

2. Kurven er asymptotisk:

Normal sandsynlighedskurven nærmer sig den vandrette akse og strækker sig fra -∞ til + ∞. Betyder, at de ekstreme ender af kurven har tendens til at røre bundlinjen, men aldrig røre ved den.

Det er afbildet i figur (11.3) nedenfor:

3. Middel, Median og Mode:

Den gennemsnitlige, median og tilstand falder ved midtpunktet, og de er numerisk lige.

4. Bøjningspunkterne forekommer ved ± 1 Standardafvigelsesenhed:

Indgangsstederne i en NPC forekommer ved ± 1σ til enheden over og under middelværdien. På dette tidspunkt ændres kurven fra konveks til konkav i forhold til den vandrette akse.

5. Det samlede areal af NPC er opdelt i ± standardafvigelser:

Summen af ​​NPC er opdelt i seks standardafvigelsesenheder. Fra centrum er det opdelt i tre + ve 'standardafvigelsesenheder og tre-ve' standardafvigelsesenheder.

Således indeholder ± 3σ af NPC forskellige antal tilfælde separat. Mellem ± 1σ ligger mellem 2/3 tilfælde eller 68, 26%, mellem ± 2σ ligger 95, 44% tilfælde og mellem ± 3σ ligger 99, 73% tilfælde og ud over + 3σ kun 0, 37% tilfælde falder.

6. Y-ordinaten repræsenterer højden af ​​den normale sandsynlighedskurve:

Y-koordinatet af NPC repræsenterer kurvens højde. I midten sker den maksimale ordinat. Kurvens højde ved middel eller midtpunkt betegnes som Y ₀ .

For at bestemme kurvens højde på ethvert tidspunkt bruger vi følgende formel:

7. Det er unimodalt:

Kurven har kun et toppunkt. Fordi den maksimale frekvens kun forekommer på et tidspunkt.

8. Kurvens højde falder symmetrisk:

Kurvens højde falder til begge retninger symmetrisk fra det centrale punkt. Betyder at M + σ og M - σ er lige, hvis afstanden fra middelværdien er ens.

9. Middelværdien af ​​NPC er μ, og standardafvigelsen er σ:

Som middelværdien af ​​NPC repræsenterer populationen, så den er repræsenteret af μ (Meu). Kurvens standardafvigelse er repræsenteret af det græske bogstav, σ.

10. I normal sandsynlighedskurve er standardafvigelsen den 50% større end Q:

I NPC kaldes Q generelt den sandsynlige fejl eller PE.

Forholdet mellem PE og a kan angives som følger:

1 PE = .6745σ

1σ = 1, 4826PE.

11. Q kan bruges som måleenhed til bestemmelse af området inden for en given del:

12. Den gennemsnitlige afvigelse omkring gennemsnittet af NPC er .798σ:

Der er et konstant forhold mellem standardafvigelse og gennemsnitlig afvigelse i en NPC.

13. Modelordinaten varierer i stigende grad til standardafvigelsen:

I en normal sandsynlighedskurve varierer modalordinaten i stigende grad til standardafvigelsen. Standardafvigelsen for den normale sandsynlighedskurve stiger, den modale ordinat falder og omvendt.

Anvendelser af normal sandsynlighedskurve:

Nogle af de vigtigste anvendelser af normal sandsynlighedskurve er som følger:

Principperne for normal sandsynlighedskurve anvendes i adfærdsvidenskaberne på mange forskellige områder.

1. NPC bruges til at bestemme procentdelen af ​​tilfælde i en normal fordeling inden for givne grænser:

Den normale sandsynlighedskurve hjælper os med at bestemme:

jeg. Hvilken procent af sager falder mellem to scorer af en fordeling.

ii. Hvilken procent af scorerne ligger over en bestemt score for en fordeling.

iii. Hvilken procentdel af scorer ligger under en bestemt score for en fordeling.

Eksempel:

Givet en fordeling af scoringer med et gennemsnit på 24 og σ på 8. Forudsat normalitet, hvilken procentdel af sagerne vil falde mellem 16 og 32.

Opløsning:

Her skal vi først og fremmest konvertere både score 16 og 32 til en standard score.

Indtastning i tabel-A, tabelområdet under NPC, er fundet, at 34, 13 tilfælde falder mellem de gennemsnitlige og - 1σ og 34.13 tilfælde falder mellem middel og + 1σ. Så ± σ dækker 68, 26% af sagerne. Så at 68, 25% sager falder mellem 16 og 32.

Eksempel:

Givet en fordeling af scoringer med et gennemsnit på 40 og σ på 8. Forudsat normalitet, hvilken procentdel af sager vil ligge over og under score 36.

Opløsning:

Først og fremmest er vi nødt til at konvertere den rå score 36 til standard score.

Indtastning i tabel-A, tabelområdet under NPC det konstateres, at 19, 15% tilfælde falder mellem middel og -.5σ. Derfor er den samlede procentdel af tilfælde over scoringen 36 50 + 19, 15 = 69, 15% og under scoringen 36 er 50-19, 15 = 30, 85%. Så i fordelingen er 69, 15% sager over score 36 og 30, 85% score er under score 36.

2. NPC bruges til at bestemme værdien af ​​en score, hvis procentilstand er angivet:

Ved at bruge NPC tabel kan vi bestemme individets rå score, hvis percentilrangen er angivet.

Eksempel:

I en fordeling af scoringer af en doss Pinkys procentilstand i statistikken er 65. Middelværdien af ​​fordelingen er 55 med en standardafvigelse på 10. Find men den rå score af Pinky i Statistikken.

Opløsning:

Som Pinkys procentilstand er 65, så i en normal fordeling er hendes position 35% over gennemsnittet. Ved at indtaste i bordet 'A' fandt vi, at 35% fra middelværdien er + 1, 04 σ.

Ved at sætte værdien i 'Z' score.

3. NPC bruges til at finde grænserne i en normal fordeling, der omfatter en given procentdel af sager:

Når en distribution normalt distribueres, og hvad vi ved om fordelingen er Mean og Standardafvigelsen på det tidspunkt ved at bruge tabelområdet under NPC, kan vi bestemme grænserne, der indbefatter en given procentdel af sager.

Eksempel:

Givet en fordeling af scoringer med et gennemsnit på 20 og σ på 5. Hvis vi antager normalitet, hvilke grænser vil der indbefatte de midterste 75% af sagerne.

Opløsning:

I en normal fordeling omfatter de mellemliggende 75% tilfælde 37, 5% tilfælde over de gennemsnitlige og 37, 5% tilfælde under gennemsnittet. Fra tabel-A kan vi sige, at 37, 5% tilfælde dækker 1, 15 σ enheder. Derfor ligger de mellemste 75% tilfælde mellem middelværdier og ± 1, 15 σ enheder.

Så i denne distribution vil mellem 75% tilfælde omfatte grænserne 14, 25 til 25, 75.

4. Det bruges til at sammenligne to fordelinger med hensyn til overlapning:

Hvis scorer af to grupper på en bestemt variabel normalt fordeles. Hvad vi ved om gruppen er den gennemsnitlige og standardafvigelsen for begge grupper. Og vi vil gerne vide, hvor meget den første gruppe overlader den anden gruppe eller omvendt på det tidspunkt, vi kan bestemme dette ved at bruge bordområdet under NPC.

5. NPC hjælper os med at opdele en gruppe i undergrupper efter visse evner og tildele karaktererne:

Når vi ønsker at opdele en stor gruppe ind i bestemte undergrupper efter en bestemt evne på det tidspunkt, bruger vi standardafvigelsesenhederne i en NPC som skalleenheder.

Eksempel:

En præstationsprøve blev administreret til de studerende på 600 8. klasse. Læreren ønsker at tildele disse studerende til 4 karakterer nemlig A, B, C og D i henhold til deres præstationer i testen. Hvis man antager normaliteten af ​​fordelingen af ​​score beregnes, kan antallet af studerende placeres i hver gruppe.

Opløsning:

Området under en NPC er opdelt i ± 3σ enheder eller 6σ enheder.

Her skal vi opdele de studerende i 4 afsnit.

Så hvert afsnit har

Så hvis vi skal distribuere afsnittet efter fortjeneste.

Afsnittet A vil være inden for 1, 5σ til 3σ

Afsnit B vil være indenfor Middel til 1, 5σ

Afsnit C vil være indenfor Middel til -1, 5σ

og sektion D vil være med i -1, 5σ til - 3σ.

6. NPC hjælper med at bestemme den relative vanskelighed ved testartikler eller problemer:

Når det er kendt, at hvilken procentdel af studerende der har løst et problem, kan vi bestemme problemets niveau eller problem ved at bruge tabelområdet under NPC.

7. NPC er nyttigt at normalisere en frekvensfordeling:

For at normalisere en frekvensfordeling bruger vi normal sandsynlighedskurve. For processen med standardisering af en psykologisk test er denne proces meget nødvendig.

8. For at teste betydningen af ​​observationer af eksperimenter bruger vi NPC:

I et forsøg tester vi forholdet mellem variabler, uanset om disse skyldes chancersvingninger eller fejl i prøveudtagningsproceduren, eller det er reelt forhold. Dette gøres ved hjælp af bordområdet under NPC.

9. NPC bruges til generalisering af befolkningen fra prøven:

Vi beregner standardfejl af middelværdi, standardfejl for standardafvigelse og andre statistikker for at generalisere om den population, hvorfra prøven er tegnet. Til denne beregning bruger vi bordområdet under NPC.