Måling af variabilitet: En oversigt

Måling af variabilitet: En oversigt!

Betydning af variabilitet:

Variabilitet betyder 'Scatter' eller 'Spread'. Variabilitetsmålinger refererer således til scattering eller spredning af scoringer omkring deres centrale tendens. Variabilitetsmålingerne angiver, hvordan fordelingen spredes over og under det centrale bud.

Fra det følgende eksempel kan vi få en klar ide om begrebet mål for variabilitet:

Antag, at der er to grupper. I en gruppe er der 50 drenge og i en anden gruppe 50 piger. En test indgives til begge disse grupper. Den gennemsnitlige score af drenge og er 54, 4 og piger er vi sammenligner den gennemsnitlige score for begge grupper, vi finder, at der ikke er nogen forskel i de to gruppers præstation. Men antag, at drengeens scoringer er fundet at variere fra 20 til 80, og pigernes scoringer spænder fra 40 til 60.

Denne forskel i rækkevidde viser, at drengene er mere variable, fordi de dækker mere område end pigerne. Hvis gruppen indeholder personer med vidt forskellige kapaciteter, vil scorerne blive spredt fra høj til lav, området vil være relativt bredt, og variabiliteten bliver stor.

Denne situation kan illustreres grafisk i nedenstående tal:

Ovenstående figur viser to frekvensfordeling af det enkelte område (N) og nogle gennemsnitlige (50) men af meget forskellig variabilitet. Gruppe A spænder fra 20 til 80 og gruppe B fra 40 til 60 Gruppe A er tre gange så variabel som gruppe B-spredninger over tre gange afstanden på skalaen af scoringer. Selvom begge fordelinger har den centrale tendens.

Definitioner af variabilitet:

Ordbog for Uddannelse-CV God. " Spredningen eller variabiliteten af observationerne af en fordeling om en vis grad af central tendens." Collins Dictionary of Statistics: "Dispersion er spredningen af en fordeling"

AL Bowley:

"Dispersion er måling af variationen af emnerne."

Brooks og Dicks:

"Dispersion eller spredning er graden af spredning eller variation af variablerne om en central værdi." Således er egenskaben, der angiver omfanget af, hvor værdierne er dispergeret om de centrale værdier, kaldet dispersion. Det indikerer også manglen på ensartethed i størrelsen af emner af en distribution.

Behov for variabilitet:

1. Hjælper med at sikre de afvigende foranstaltninger:

Variationsmålingerne hjælper os med at måle graden af afvigelse, som findes i dataene. Ved det kan bestemme grænserne inden for hvilke dataene vil navy i nogle målbare sort eller kvalitet.

2. Det hjælper med at sammenligne forskellige grupper:

Ved hjælp af gyldighedsforanstaltninger kan vi sammenligne de originale data udtrykt i forskellige enheder.

3. Det er nyttigt at supplere de oplysninger, der fremgår af foranstaltningerne med central tendens.

4. Det er nyttigt at beregne yderligere forhåndsstatistik baseret på dispersionsforanstaltningerne.

Variabilitetsmålsætninger:

Der er fire målinger af variabilitet:

1. området

2. Kvartilafvigelsen

3. Den gennemsnitlige afvigelse

4. Standardafvigelsen

Disse er:

1. Omfanget:

Omfang er forskellen mellem i en serie. Det er den mest generelle måling af spredning eller spredning. Det er et mål for variabilitet af sorterne eller observationen indbyrdes og giver ikke en ide om spredningen af observationerne omkring en central værdi.

Område = H-L

Her H = Højeste score

L = Laveste score

Eksempel:

I en klasse har 20 studerende sikret mærkerne som følger:

22, 48, 43, 60, 55, 25, 15, 45, 35, 68, 50, 70, 35, 40, 42, 48, 53, 44, 55, 52

Her-den højeste score er 70

Den laveste score er 15

Område = H - L = 70-115 = 55

Hvis området er højere end gruppen angiver mere heterogenitet, og hvis området er lavere end gruppen angiver mere homogenitet. Således giver rækkevidde os en øjeblikkelig og grov indikation af variabiliteten af en distribution.

Meritter af Range:

1. Område er let beregnet og let forstået.

2. Det er den enkleste måling af variabilitet.

3. Det giver et hurtigt skøn over størrelsen af variabiliteten.

Demerits of Range:

1. Område er stærkt påvirket af svingninger af scoringer.

2. Det er ikke baseret på alle observationer af serien. Det tager kun den højeste og laveste score på konto.

3. I tilfælde af open ended distributioner kan rækkevidde ikke bruges.

4. Det påvirkes meget af fluktuationer i stikprøver.

5. Det påvirkes meget af ekstreme resultater.

6. Serien er ikke virkelig repræsenteret af rækkevidde. En symmetrisk og en symmetrisk fordeling kan have samme område, men ikke den samme spredning.

Anvendelser af rækkevidde:

1. Område anvendes som et mål for dispersion, når variationer i værdien af variablen ikke er meget.

2. Område er det bedste mål for variabilitet, når dataene er for spredte eller for knappe.

3. Område bruges, når kendskabet til ekstrem score eller total spredning er ønsket.

4. Når et hurtigt estimat af variabilitet er ønsket, anvendes rækkevidde.

2. Kvartilafvigelsen (Q):

Ved siden af rækkevidde er kvartilafvigelsen et andet mål for variabilitet. Det er baseret på intervallet indeholdende de midterste halvtreds procent af sagerne i en given fordeling. En fjerdedel betyder 1/4 af noget, når en skala er opdelt i fire lige store dele. "Kvartilafvigelsen eller Q er halvdelen af skalaafstanden mellem 75t og 25th percentiler i en frekvensfordeling."

Fra figur 9.2 fandt vi, at 1. kvartil eller Q ₁ er position i en fordeling under hvilke 25% tilfælde, og over hvilke 75% tilfælde ligger. 2. kvartil eller Q2 er en position under og over hvilke 50% tilfælde ligger. Det er distributionens median.

Det tredje kvartil eller Qg er 75. percentilen, under hvilket 75% tilfælde og over hvilke 25% tilfælde ligger. Så kvartilafvigelsen (Q) er halvdelen af afstanden mellem 3. kvartil (Q ₃ ) og 1. kvartil (Q ₁ ). Det er også kendt som Semi-Interquartile Rage.

Symbolsk:

Derfor skal vi for at beregne kvartilafvigelsen først og fremmest beregne 1. kvartil (Q ₁ ) og 3. kvartil (Q ₃ )

Hvor = L = Nedre grænse for den 1. kvartil klasse,

Den 1. kvartil klasse er den klasse, hvis kumulative frekvens er større end værdien af N / 4, hvis hvis beregnes fra nedre ende.

N / 4 = En fjerdedel af det samlede antal tilfælde.

F = Kumulativ frekvens af klasseintervallet under

1. kvartil klasse.

Fq ₁ = Frekvensen af Q _1- klassen

i = Størrelse af klasseintervallet 3N

Hvor: L = Nedre grænse for 3. kvartilklasse

Den tredje kvartil klasse er den klasse, hvis kumulative frekvens (Cf) er større end værdien 3N / 4 ie Cf> 3N / 4, når Cf beregnes fra nedre ende.

3N / 4 = ¾ th N eller 75% af det samlede antal tilfælde.

F = Kumulativ frekvens af klassen under klassen.

fq ₂ = Frekvensen af Q _3- klassen.

i = Størrelsen af klasseintervallet.

Beregning af kvartil fra gruppedata:

Eksempel:

Find ud af kvartilafvigelsen af følgende data:

Fremgangsmåde til beregning af kvartilafvigelse:

Trin 1:

Beregn N / 4 dvs. 25% af fordelingen og 3N / 4 dvs. 75% af fordelingen.

Her -N = 50 så N / 4 = 12, 5

og 3N / 4 = 37, 5

Trin 2:

Beregn C f fra den nederste ende. Som i tabel 9.1 kolonne-3.

Trin 3:

Find ud af Q ₁ og Q _3- klassen.

I dette eksempel:

Ci, 60-64 er Q1 klasse fordi C f > N / 4

Ci 75-79 er Q ₃ klasse fordi

Cf> 3N / 4

Trin-4:

Find ud af F for Q ₁ klasse og Q ₃ klasse. I dette eksempel

F for Q ₁ klasse = 10

F for Q3 klasse = 30 Trin

Trin 5:

Find ud af Q1 ved at sætte ovenstående værdier i formel.

Q1 = L + N / 4 - F / fq1 xi

Her L = 59, 5, fordi de nøjagtige grænser for Q ₁ klasse 60-64 er 59, 5-64, 5.

F = 10 Cf under Q _1- klassen

Fq ₁ = 4: Den nøjagtige frekvens af Q ₁ klasse

i = 5, størrelsen af klasseintervallet

N / 4 = 12, 5

Nu Q ₁ = 59, 5 + 12, 5-10 / 4 x 5

= 59, 5 + 2, 5 / 4 x 5

= 59, 5 + 0, 63 x 5

= 59, 5 + 3, 13 = 62, 63

Trin 6:

Find ud af Q ₃ ved at sætte værdierne i formel.

Her L = 74, 5, fordi de nøjagtige grænser for Q ₃ klassen 75-79 er 74, 5-79, 5.

F = 30 Cf under Q _3- klassen.

3N / 4 = 37, 5

Fq ₁ = 8 den nøjagtige frekvens af Q ₃ klasse.

i = 5 størrelsen af klasseintervallerne.

Q3 = 74, 5 + 37, 5-30 / 8 x 5

= 74, 5 + 7, 5 / 8 x 5 = 74, 5 + .94 x 5

= 74, 5 + 4, 7 = 79, 2

Trin 7:

Find ud af Q ved at sætte ovenstående værdi i formel.

Q = Q3-Q1 / 2 = 79, 2 - 62, 63 / 2

= 16, 5 / 2 = 8, 285 = 8, 29

Fortjeneste af kvartilafvigelse:

1. Kvartilafvigelse er nem at beregne og let at forstå.

2. Det er mere repræsentativt og tillid værdigt end rækkevidde. I tilfælde af åbne mellemrumsintervaller anvendes den til at studere dispersionsforanstaltninger.

3. I tilfælde af åbne afsluttede klasseintervaller bruges den til at studere dispersionsforanstaltninger.

4. Det er et godt indeks for score tæthed i midten af distributionen.

5. Når vi tager median som måling af central tendens på det tidspunkt, er Q foretrukket som måling af dispersion.

6. Ligesom det er ikke påvirket af ekstreme resultater.

Afvigelser af kvartilafvigelse:

1. Det er ikke baseret på alle observationer af data. Det ignorerer de første 25% og de sidste 25% af scorerne.

2. Yderligere algebraisk behandling er ikke mulig i tilfælde af Q. Det er kun et positionelt gennemsnit. Det studerer ikke variation af værdierne af en variabel fra noget gennemsnit. Det angiver kun en afstand på en skala.

3. Det påvirkes af svingninger af scoringer. Dens værdi påvirkes under alle omstændigheder af en ændring i værdien af en enkelt score.

4. Q er ikke et passende mål for dispersion, når der i en serie er en betydelig variation i værdierne af forskellige scoringer.

Anvendelse af kvartilafvigelse:

1. Når Median er målet for den centrale tendens på det tidspunkt, anvendes Q, anvendes som måling af dispersion.

2. Når ekstreme resultater påvirker SD eller scorerne er spredt på det tidspunkt, anvendes Q som mål for variabilitet.

3. Når vores primære interesse er at kende koncentrationen omkring medianen - den midterste 50% af sagerne, på den tid Q anvendes.

4. Når klassens intervaller er åbne, anvendes Q som målestok for dispersion.

3. Den gennemsnitlige afvigelse (AD):

Vi har diskuteret om to variationer, rækkevidde og kvartilafvigelse. Men ingen af disse dispersioner angiver sammensætningen af fordelingen. Det skyldes, at begge dispersioner ikke tager højde for alle individuelle scoringer. Vi kan overvinde nogle af de alvorlige mangler ved rækkevidde og kvartilafvigelse ved at bruge en anden dispersion kaldet gennemsnitlig afvigelse eller middelafvigelse.

"Gennemsnitlig afvigelse er det aritmetiske gennemsnit af alle afvigelser fra forskellige scoringer fra gennemsnitsværdien af scorerne uden hensyn til tegn på afvigelsen."

Således er gennemsnitsafvigelsens aritmetiske gennemsnit af afvigelserne i en serie beregnet ud fra en vis måling af central tendens. Så gennemsnitlig afvigelse er gennemsnittet af de afvigelser, der er taget fra deres gennemsnitlige (nogle gange fra median og mode.)

Definitioner:

Collins Dictionary of Statistics:

"Gennemsnitlig afvigelse er middelværdien af de absolutte værdier af forskellene mellem værdierne af en variabel og middelværdien af dens fordeling."

Ordbog for Uddannelse, CV Godt:

"Et mål, der udtrykker det gennemsnitlige beløb, hvormed de enkelte elementer i en fordeling afviger fra en måling af central tendens, såsom middelværdien."

HE Garrett:

"Den gennemsnitlige afvigelse eller AD er gennemsnittet af afvigelserne for alle de separate scores i en serie taget fra deres gennemsnit (fra tid til anden fra medianen eller tilstanden)."

Det kan således siges, at gennemsnitlig afvigelse eller middelafvigelse som den hedder er middelværdien af afvigelserne for alle scores.

Der tages ikke hensyn til tegn og alle afvigelser, om + ve eller -ve er behandlet som positive.

hvor AD = gennemsnitlig afvigelse

£ = Kapital Sigma, Middel Summen af

II = Modulous in short Mod betyder ingen respekt for negativt tegn.

x = afvigelse, (X-M)

Beregning af gennemsnitlig afvigelse:

Der er to situationer til beregning af gennemsnitlige afvigelser:

(a) Når data er ugrupperet.

(b) Når data grupperes.

Beregning af AD fra ugrupperede data.

Eksempel:

Find AD af de følgende 10 point, der er angivet nedenfor:

23, 34, 16, 27, 28, 39, 45, 26, 18, 27

Opløsning:

Trin 1:

Find ud af gennemsnittet af scorerne med formel

ΣX / N

Trin 2:

Find ud afvigelse af alle scoringer, der trækker gennemsnittet fra scorerne.

Trin 3:

Find ud af den absolutte afvigelse som vist i tabel 9.2 og derefter Σ | x |

Trin-4:

Sæt værdierne i formel.

AD = 7, 58.

Beregning af AD fra grupperede data:

Eksempel:

Find ud af AD'en af følgende data:

Løsning :

Trin 1:

Find ud af gennemsnittet af fordelingen.

Middel = 70, 80

Trin 2:

Find ud af midtpunktet for hver klasse intervaller. Som i kolonne -3 i tabel -9.3

Trin 3:

Find ud af x ved at fratrække middelværdien fra midtpunktet (X). Som vist i kolonne -5 i tabel 9.3.

Trin-4:

Find ud af absolut afvigelse eller | x |. Som kolonne -6 ovenfor.

Trin-5:

Find ud af | f x |. ved at gange f med | x. Som vist i kolonne -7 og find ud af Σ | f x |.

Trin 6:

Sæt ovenstående værdier i formel.

Formlen for AD fra grupperede data

Hvor = AD = Gennemsnitlig afvigelse

Σ = Summen af

f = frekvens

x = afvigelse dvs. (X-M)

N = I alt Antal sager ie Σ f .

Sætter værdierne i formel

Fordele ved AD:

1. Gennemsnitlig afvigelse er stift defineret, og dens værdi er præcis og bestemt.

2. Det er nemt at beregne.

3. Det er let at forstå. Fordi det er gennemsnittet af afvigelserne fra en måling af central tendens.

4. Det er baseret på alle observationer.

5. Det er mindre påvirket af værdien af ekstreme resultater.

Demerits af AD:

1. Den mest alvorlige ulempe ved gennemsnitlige afvigelser er, at den ignorerer de algebraiske tegn på afvigelserne, som er imod de grundlæggende regler i matematik.

2. Yderligere algebraisk behandling er ikke mulig i tilfælde af AD.

3. Det anvendes meget sjældent. På grund af standardafvigelse anvendes generelt som et mål for dispersion.

4. Når det beregnes fra tilstanden AD, giver det ikke nøjagtigt mål for dispersion.

Anvendelser af gennemsnitlig afvigelse:

1. Gennemsnitlig afvigelse bruges, når det er ønskeligt at vægte alle afvigelser fra middelværdien efter deres størrelse.

2. Når ekstreme resultater påvirker standardafvigelsen på det tidspunkt, er AD det bedste mål for dispersion.

3. AD bruges, når vi ønsker at vide, i hvilket omfang foranstaltningerne er spredt ud på hver side af gennemsnittet.

4. Standardafvigelsen (SD):

Vi har diskuteret tre målinger af variabilitet nemlig Range, Quartile Deviation og Average Deviation. Vi fandt også, at alle af dem lider af alvorlige ulemper.

Intervallet er kun taget i betragtning for kun den højeste score og den laveste score. Kvartilafvigelsen tager kun hensyn til de midterste 50% af score og i tilfælde af gennemsnitlige afvigelser ignorerer vi tegnene.

Derfor for at overvinde alle disse vanskeligheder bruger vi en anden måling af dispersion kaldet Standard Deviation. Det er almindeligt anvendt i eksperimentel forskning, da det er det mest stabile variabilitetsindeks. Symbolisk er det skrevet som σ (græsk lille bogstav sigma).

Definitioner:

Collins ordbog af statistikker.

"Standardafvigelse er et mål for spredning eller spredning. Det er root mean squared afvigelse. "

Ordbog for Uddannelse-CV God.

"En meget brugt måling af variabilitet, der består af kvadratroden af middelværdien af de kvadratiske afvigelser af scoringer fra gennemsnittet af fordelingen."

Standardafvigelse er kvadratroden af gennemsnitsværdien af de kvadratiske afvigelser af scorerne fra deres aritmetiske gennemsnit.

SD'en beregnes ved at opsummere den kvadratiske afvigelse for hver foranstaltning fra middelværdien divideret med antallet af tilfælde og ekstraktion af kvadratroden. For at være mere klar skal vi bemærke her, at vi ved beregning af SD'en firkanter alle afvigelserne separat, find deres sum, divider summen med det samlede antal scoringer og find derefter kvadratroten af middelværdien af den kvadratiske afvigelse. Således kaldes det også 'root mean square deviation'.

Firkantet af standardafvigelsen hedder variant (σ ² ). Det kaldes den gennemsnitlige kvadratafvigelse. Det kaldes også som den anden øjebliksdispersion.

Beregning af SD fra ubearbejdede data:

Eksempel:

Find ud af SD'en af følgende data:

6, 8, 10, 12, 5, 8, 9, 17, 20, 11.

Opløsning:

Trin 1:

Find ud af gennemsnittet af scorerne.

Trin 2:

Find ud af afvigelse (x) af hver score.

Beregning af SD fra grupperede data:

I grupperede data kan SD beregnes i to metoder:

1. Direkte metode eller lang metode

2. Kort metode eller antaget middel metode

1. Direkte metode eller lang metode:

Eksempel:

Find ud af SD'en af følgende distribution:

Opløsning:

Trin 1:

Find ud af midtpunktet for hvert klasseinterval. (Colum-3 Tabel 9.4)

Trin 2:

Find ud af gennemsnittet af fordelingen:

Her M = Σf x / N = 3540/50

= 70, 80

Trin -3:

Find ud af afvigelsen (x) ved at fratrække gennemsnittet fra point.

Trin -4:

Find ud af f x ved at gange f (col-2) med x (col-5)

Trin-5:

Find ud af f x ved at gange f x (col-2) med x (col-5)

Trin 6:

Beregn Σ f x ved at tilføje værdierne i kol-7.

Trin-7:

Sæt værdierne i formel.

2. Kort metode eller antaget middel metode:

Kort sagt er beregning af SD nem og mindre tidskrævende. Hvis midtpunkterne i klassens intervaller er decimale tal, bliver det mere kompliceret at beregne SD i lang metode. Denne metode består i det væsentlige i "gæt" eller antager et middel og senere anvender en korrektion for at give det egentlige middel. Så det kaldes som antaget middel metode.

Eksempel:

Beregn SD'en med følgende fordeling:

Opløsning:

Trin 1:

Antag midtpunktet for et hvilket som helst klasseinterval som "antaget middel". Men det er bedre at antage midtpunktet af klasseintervallet i midten med højeste frekvens som antaget middelværdi. Her antages det at være = 72 som antages at betyde.

Trin 2:

Find ud af x (afvigelse af scorerne fra det antagne gennemsnit) som vist i kol-3.

x '= X - M / i

Trin 3:

Beregn f x ', ved at gange x' med f (kol-4).

Trin-4:

Beregn f x ² ved at gange x '(kol-3) med f x (col-5).

Trin-5:

Find ud af Σ f x 'og Σ f x ' ² det 'ved at tilføje værdierne i kol-4 og kol-5. '

Trin 6:

Sæt værdierne i formel:

Formel for SD i kort metode er:

Hvor jeg = Størrelsen af klasseintervallet

Σ = Summen af

f = frekvens

x '= afvigelse af scorerne fra deres antatte gennemsnit.

Nu, hvis vi skal erstatte Σ f x '/ N i stedet for C.

Formlen vil være som følger:

Nu får vi værdierne i formel.

1. Hvis en konstant værdi tilføjes til hver score eller subtraheres fra hver score, forbliver vale af SD uændret:

Det betyder, at SD er uafhængig af oprindelsesændring (tilføjelse, subtraktion). Således, hvis en konstant værdi tilsættes eller subtraheres fra hver sort, forbliver SD det samme.

Vi kan undersøge dette fra følgende eksempel:

I ovenstående tabel gives der en score på 5 studerende. Lad os se hvad der sker med SD'en af scorerne, hvis vi tilføjer et konstant tal sige 5 og trækker 5 fra hver score.

2. Hvis en konstant værdi multipliceres eller divideres med de oprindelige score, multipliceres værdien af SD også med samme nummer:

Det betyder, at SD'en er uafhængig af skalaændringer (multiplikation, division). Hvis vi multiplicerer de originale score med et konstant tal, bliver SD også multipliceret med det samme tal.

Igen, hvis vi deler hver score med et konstant tal, bliver SD også delt op med det samme tal.

Vi kan illustrere dette med følgende eksempel:

I ovenstående tabel gives scorer på 5 studerende. Lad os se, hvad der sker med SD af de 5 scorer, hvis vi formere det med et konstant tal sige 2 og divider det med det samme konstante tal.

Således fra dette fandt vi ud af, at hvis scoresene multipliceres med et konstant tal, bliver σ også multipliceret med det. Hvis scorerne er divideret med et konstant tal, bliver σ også divideret med samme nummer.

Fordele ved SD:

1. Standardafvigelsen er stift defineret, og dens værdi er altid bestemt.

2. Det er baseret på alle observationer af data.

3. Det er i stand til yderligere algebraisk behandling og besidder mange matematiske egenskaber.

4. I modsætning til Q og AD er det mindre påvirket af svingninger af scoringer.

5. I modsætning til AD ignorerer den ikke de negative tegn. Ved kvadratering af afvigelser overvinder den disse vanskeligheder.

6. Det er det pålidelige og mest præcise mål for variabilitet. Det går altid med det middel, som er det mest stabile mål for den centrale tendens.

7. SD giver en foranstaltning, der er sammenlignelig betydning fra en test til en anden. Frem for alt udtrykkes de normale kurveenheder i en enhed.

Demerits of SD:

1. SD er svært at forstå og ikke let at beregne.

2. SD giver større vægt til ekstreme score og tab for dem, der er tættere på middelværdien. Det skyldes, at kvadraterne af afvigelserne, som er store i størrelse, ville være forholdsmæssigt større end kvadraterne af de afvigelser, som er forholdsvis små.

Anvendelse af SD:

1. SD bruges, når vores fokus er at måle variabiliteten med størst stabilitet.

2. Når ekstreme afvigelser kan påvirke variabiliteten på det tidspunkt, anvendes SD.

3. SD anvendes til beregning af yderligere statistikker som korrelationskoefficient, standard scoringer, standardfejl, Variansanalyse, Analyse af Co-variance etc.

4. Når fortolkningen af scoringer foretages i form af NPC, anvendes SD.

5. Når vi ønsker at bestemme testresultaternes pålidelighed og gyldighed, anvendes SD.

Kombineret standardafvigelse:

Under forskningsarbejdet trækker vi nogle gange mere end en stikprøve fra befolkningen. Derfor får vi forskellige SD'er for hver gruppe eller prøve. Men nogle gange kræver vi at fortolke disse resultater som en gruppe. Derfor, når forskellige sæt af scoringer er blevet kombineret i et enkelt parti, er det muligt at beregne SD af den samlede fordeling fra subgruppernes SD'er.

Formel til beregning af kombineret standardafvigelse eller som følger: