Euler's Theorem og Product Exhaustion Problem

Euler's sætning og produktudmattelse problem!

Så snart det blev fremført, at produktionsfaktorerne er betalt ligner deres marginale produkter, er der et vanskeligt problem, der har været en alvorlig debat blandt de berømte økonomer. Det vanskelige problem, der er opstået er, at hvis alle faktorer blev betalt belønninger svarende til deres marginale produkter, ville det samlede produkt være lige nøjagtigt opbrugt?

Med andre ord, hvis hver faktor bliver belønnet med sit marginalprodukt, skal den samlede vare bortskaffes uden overskud eller underskud. Problemet med at bevise, at den samlede produktion vil være lige opbrugt, hvis alle faktorer er betalt belønninger svarende til deres marginale produkter, er blevet kaldt "Adding Up Problem" eller Product Exhaustion Problem.

De to løsninger på problemet med produktudmattelse er blevet fremsat. For det første blev der fremsat en vigtig løsning fra PH Wicksteed, som antog driften af ​​konstant tilbagevenden til produktionskalaen (det vil sige den første grad homogene produktionsfunktion) og anvendt Euler-teorien til at bevise produktudmattelsesproblemet.

Den anden vigtige løsning er blevet leveret af JR Hicks og RA. Samuleson, der brugte perfekt konkurrence model for bestemmelse af produkt og faktor priser for at bevise produkt udmattelse problem. Vi diskuterer nedenfor disse løsninger af produktudmattelsesproblem.

Wicksteed's Solution of Product Exhaustion Problem med Euler's sætning:

Philip Wicksteed var en af ​​de første økonomer, der stillede dette problem og gav en løsning til det. Wicksteed anvender et matematisk proposition kaldet Euler's sætning for at bevise, at det samlede produkt vil være bare opbrugt, hvis alle faktorer er betalt svarende til deres marginale produkter.

Lad Q stå for produktets samlede produktion, en stands for faktorarbeidet og b står for faktorkapitalen og c står for jord. Forudsat at der kun er tre faktorer, der anvendes til produktion. Derefter indebærer tilføjelsesproblemet, at,

Q = MP _a xa + MP _a X b + MP _c xc

Det vil sige, at marginalproduktet af faktor a multipliceret med mængden af ​​faktor a plus marginalproduktet af faktor b multipliceret med mængden af ​​faktor b plus marginalproduktet af faktor c multipliceret med mængden af ​​faktor c svarer til det samlede produkt af firma. Marginale produkter af forskellige faktorer kan udtrykkes som partielle derivater. Således kan marginalproduktet af arbejdskraft (dvs. faktor a) udtrykkes som ∂W / ∂a, og kapitalets marginalprodukt (faktor b) som ∂W / ∂b og det marginale produkt af jord (faktor c) som ∂W / ∂c, så skal tilslutningsproblemet (dvs. produktudmattelsesproblemet) opfyldes, skal følgende ligning være god:

Nu siger Eulers sætning, at hvis produktionsfunktionen er en homogen funktion i den første grad, er det, hvis i Q = f (a, b, c) for enhver forøgelse i variablerne a, b og c med mængden n, output Q øges også med n, så Q vil være lig med summen af ​​de partielle derivater af produktionsfunktionen i forhold til forskellige faktorer multipliceret med henholdsvis mængderne af faktorerne.

Den homogene funktion af den første grad eller den lineære homogene funktion er skrevet i følgende form:

nQ = f (na, nb, nc)

Nu, ifølge Eulers sætning, for denne lineære homogene funktion:

Således, hvis produktionsfunktionen er homogen i den første grad, så er ifølge Eulers sætning det samlede produkt:

Hvor Q repræsenterer det samlede produkt, og ∂W / ∂a, ∂W / ∂b, ∂W / ∂c er partielle derivater af produktionsfunktionen og derfor repræsenterer de marginale produkter af henholdsvis arbejdskraft, kapital og jord. Det følger heraf, at hvis produktionsfunktionen er homogen i den første grad (det vil sige, hvor der er konstant afkast), er det ifølge Eulers sætning, at hvis de forskellige faktorer a, b og c er betalt, svarer de til deres marginale produkter, vil det samlede produkt være opbrugt, uden overskud eller underskud.

Vi ser således, at Eulers sætning er i stand til at forklare produktudmattelse, når produktionsfunktionen er homogen i første grad. På denne måde viste Wicksteed, at der blev taget konstant afkast og anvendte Euler's sætning, bevis for tilføjelsesproblemet, det vil sige, at hvis alle faktorer udbetales svarende til deres marginale produkter, vil det samlede produkt være lige nøjagtigt opbrugt.

En kritik af Eulers sætning og Wicksteeds løsning:

Wicksteeds løsning blev kritiseret af Walras, Barone, Edgeworth og Pareto. Det blev hævdet af disse forfattere, at produktionsfunktionen ikke var homogen i den første grad, det vil sige; Returnering til skala er ikke konstant i den aktuelle verden. Således kommenterede Edgeworth satirisk på Wicksteeds løsning: "Der er storhed i denne generalisering, der minder om filosofiens ungdom. Retfærdighed er en perfekt kube, sagde den gamle salvie; og rationel adfærd er en homogen funktion, tilføjer den moderne savant ".

Kritikere påpegede, at produktionsfunktionen er sådan, at den giver en U-formet langsigtet gennemsnitskurs kurve. U-formen af ​​den langsigtede gennemsnitlige priskurve indebærer, at der til et tidspunkt opnås stigende skalaafkast, og efter at der opnås mindre afkast til skala.

Hvis en virksomhed stadig arbejder under stigende skalaer, så bliver alle faktorer betalt ligner deres marginale produkter, vil de samlede faktorbelønninger overstige det samlede produkt. På den anden side, hvis en virksomhed arbejder under faldende afkast, og hvis alle faktorer betales ligner deres marginale produkter, vil de samlede faktorbelønninger ikke helt udstøde det samlede produkt og vil derfor efterlade et overskud. Det følger heraf, at Euler's sætning ikke finder anvendelse, og derfor tilføjer tilsætningsproblemet ikke, når der enten er stigende afkast eller faldende afkast.

En anden ulempe, der påpeges i Wicksteeds løsning, er, at når der er konstant skalaafkast, er den langvarige gennemsnitlige omkostningskurve for virksomheden en vandret retlinie, der er uforenelig med perfekt konkurrence. (Under horisontal langsigtet gennemsnitskurs kurve, kan firmaet ikke have en bestemt ligevægtsposition). Men perfekt konkurrence var afgørende for den marginale produktivitetsteori og dermed for Wicksteeds løsning. Således leder Wicksteed-løsningen os til to modstridende ting.

Wicksell, Walras og Barones løsning af produktionsudmattelse Problem:

Efter Wicksteed, Wicksell, Walras og Barone, hver uafhængigt fremskredes en mere tilfredsstillende løsning på problemet, at marginalt bestemte faktorbelønninger blot ville udstøde det samlede produkt. Disse forfattere antog, at den typiske produktionsfunktion ikke var homogen i den første grad, men var sådan, at den gav U-formet langsigtet gennemsnitskurs kurve.

De påpegede, at firmaet på lang sigt under perfekt konkurrence var i ligevægt på det laveste punkt af den langsigtede gennemsnitlige omkostningskurve. I det mindste punkt af den gennemsnitlige gennemsnitlige kurve på lang sigt er afkastet til sc ale kortvarigt konstant, det vil sige, at afkastet til skalaen er konstant inden for rækkevidde af små variationer af output.

Den betingelse, der kræves for de marginalt bestemte belønninger for udtømning af det samlede produkt, det vil sige driften af ​​konstant afkast til skalaen, blev således opfyldt i det mindste punkt af den langsigtede gennemsnitlige omkostningskurve, hvor et perfekt konkurrencedygtigt firma er på lang sigt ligevægt. Således i tilfælde af perfekt langsigtet ligevægt kan Euler Theorem anvendes, og hvis faktorerne betales belønninger svarende til deres marginale produkter, ville det samlede produkt være lige nøjagtigt opbrugt.

Hicks-Samuelsons løsning på produktudmattelsesproblemet :

Efter Wicksell gav Walras og Barone, JR Hicks og PA Samuelson mere tilfredsstillende løsning på problemet med produktudmattelse. Det grundlæggende punkt at bemærke i deres løsning er, at det er markedsbetingelserne for perfekt konkurrence med dens vigtige træk ved nul økonomisk fortjeneste på lang sigt og ikke den første grad homogene produktionsfunktion, der sikrer, at hvis faktorer udbetales belønninger svarende til deres marginale produkter, samlede værdi produkt ville være bare opbrugt.

I en perfekt konkurrencedygtig markedsstruktur skaber virksomheder hverken økonomisk profit eller tab. Løsningen af ​​produktudmattelsesproblemet i tilfælde af, at virksomheder, der arbejder på konkurrencedygtige faktormarkeder, hvor faktorer betales som deres marginale produkter, vil eksistensen af ​​perfekt konkurrence på produktmarkederne sikre et nul økonomisk overskud på lang sigt. Overvej Figur 32.15, hvor et perfekt konkurrencedygtigt firma er i langsigtet ligevægt på det laveste punkt af den langsigtede gennemsnitlige omkostningskurve LAC, der producerer niveauet af output OQ til pris OP.

Det samlede værdiprodukt produceret af firmaet i denne langsigtede ligevægt er lig med området OPEQ. Da pris OP er lig med gennemsnitsprisen (AC) på denne langsigtede ligevægtsudgang med nul rent overskud, vil totalværdiproduktet (PQ) være lig med den samlede pris (TC). Dermed

I langsigtet konkurrencemæssig ligevægt:

Totalværdiprodukt (PQ) = w.L + Kr ... (1)

Nu kræver marginalproduktivitetsteori om distribution det

w = VMP _L = P.MPP _L ... (2)

r = VMP _K = P. MPP _K ... (3)

Hvor w og r er priserne på henholdsvis arbejdskraft og kapital og MPP _L og MPP _K er henholdsvis marginale fysiske produkter af henholdsvis arbejdskraft og kapital og P er prisen på produktet.

Ved at erstatte værdierne w og r til ligning (1) har vi

PQ = L. (P. MPP _L ) + K. (P. MPP _K )

Opdeling af begge sider af P har vi

Q = L.MPP _L + K. MPP _K

Det vil sige, hvis arbejdskraft og kapital udbetales svarende til deres marginale fysiske produkter, vil den samlede produktion kun blive opbrugt.

Det er vigtigt at bemærke, at i modsætning til Wicksteeds og Wicksells løsninger, Walras og Barone, viser løsningen fra Hicks og Samuelson produktets udtømmelsestest uden at antage konstant afkast (dvs. førstegradshomogen produktionsfunktion) og uden at bruge Euler sætning. De beviser det ved blot at antage betingelser for perfekt markedsstruktur.

Fordelene ved Hicks-Samuleson-løsningen er, at det fremhæves, når forholdene på et perfekt konkurrencepræget marked ikke holder, dvs. når der enten er monopol eller ufuldstændig konkurrence på produktmarkedet eller monopsony eller ufuldstændig konkurrence på faktormarkedet, er de indbyggede faktorer får ikke belønninger svarende til værdien af ​​deres marginalprodukter og udnyttes derfor af iværksætterne, der kan nyde store økonomiske overskud.